Dinamiko
Klasika dinamiko komenciĝas de la studo aŭ priskribo de ŝanĝoj de la movokvanto. La movokvanto, p, estas la produto de la maso de objekto kaj la vektora rapideco, v, de tiu objekto. Por fari tiun studon, oni devas ankaŭ konsideri la vektoran lokon, x, de objeto kaj tempo. Antaŭ ol oni finos la studon, oni devas ankaŭ priskribi la rolon de energio en dinamiko.
Por fari tian priskribon, oni devas havi lingvon por tia priskribo. Tiu lingvo estas matematiko. Kutime oni uzas la matematikon de kampoj, vektoroj, vektoraj spacoj, diferencialaj ekvacioj, matricoj, kaj tensoroj en la priskribo de dinamiko.
La unua moderna priskribo de dinamiko estis tiu de Newton. Poste venis la dinamiko de La Grange kaj la dinamiko de Hamilton. Lagranĝa kaj hamiltona estas tuŝstonoj al neklasika dinamiko: kvantuma mekaniko, speciala relativeco, kaj ĝenerala relativeco.
Neŭtona Dinamiko |
Neŭtona dinamiko sumiĝas en la tri leĝoj de Newton. Ili estas:
- Korpo restas senmova aŭ en uniforma stato de movo krom se forto agas sur ĝin.
- Korpo, sur kiu agas forton, moviĝas tiel ke la tempa pokvanto de ŝanĝo de sia movokvanto egalas la forton.
- Se du korpoj efikas per fortoj sur unun de la alia, tiuj ĉi fortoj havas la saman grandojn kaj mala direktojn.
Por plene priskribi neŭtona dinamiko kaj utiligi ĝin, oni devas agnoski la konservadajn principojn kiuj venas almenaŭ parte de la unua leĝo. Ili estas Konservado de Linia Movokvanto, Konservado de Angula Movokvanto, kaj Konservado de Energio. Tiuj ĉi leĝoj nur validas en inerciaj ekranoj kiuj estas liberaj de eksteraj fortoj kaj tordo. Tio estas ekrano kiu estas aŭ senmova aŭ uniforme mova.
La dua leĝo de neŭtona dinamiko, estas la plej grava. Ĝi faras dinamikon prognoza. Por uzi ĝin priskribi fizikan situacion, oni devas aŭ scii aŭ modeligi la fortojn en tiu situacio matematike kaj tiam solvi la diferencialan ekvacion en la dua leĝo. Ekzemploj de tio ĉi estas la prognozoj pri la movado de planedoj, satelitoj, kaj aliaj astronomiaj korpoj.
La tria neŭtona leĝo fakte estas plej ofte uzata por fari la modelon de fizika situacio. Ĝi priskribas la ĉirkaŭajn kondiĉojn en modeloj de la situacioj.
Granda parto de neŭtona dinamiko estas rotacia dinamiko. Tie ĉi oni priskribas la movadon de rotaciaj etendaj korpoj. Oni devas unue kompreni la kinematikon de rotaciaj sistemoj. Tio inkludas la matematikon de rotaciaj sistemoj kiel rotaciaj matricoj kaj rotaciaj koordinataj sistemoj.
Poste oni ekuzas rotacia dinamiko. Unue oni konsideras tordo en senmovaj sistemoj kaj poste la fortoj realaj kaj ne-realaj en rotacia sistemo. Fine oni konsideras la dinamiko de libera rotacia turbo.
Lagranĝa kaj Hamiltona Dinamiko |
La dinamiko de Lagranĝ kaj Hamilton komenciĝas kun la Principo de Hamiltono. Tio estas:
La efektiva vojo de dinamika sistemo en konfiguracia spaco, ekstremigas la agado inter du difinitaj lokoj kaj tempoj.
Fizika agado estas la integralo de ĝeneraligita movokvanto laŭ ĝeneraligita distanco. Do ĝi havas la dimensiojn de la produto de energio kaj tempo. Tio kio gravas estas ke oni povas esprimi ĝin kiel la integralo de la lagranĝa funkcio laŭ tempo. La lagranĝa funkcio estas la malsameco inter kinetika energio kaj potenciala energio.
Kompreneble, oni povus konjekti ke la lagranĝa funkcio estas la fundamento de lagranĝa dinamiko. De la Principo de Hamiltono, oni povas derivi la Ekvacion de Lagranĝo. Oni ankaŭ povas montri ke la Ekvacio de Lagranĝo kaj la Dua Leĝo de Neŭtono estas la samaj.
Do kial uzi lagranĝan dinamikon? Estas kelkaj kialoj. La unua estas ke oni uzas energion por modeli fizikan situacion. Energio estas skalara funkcio. Oni ne devas unue pensi pri vektoroj en lagranĝa dinamiko.
La dua kialo estas ke oni uzas ĝeneraligitajn koordinatojn. Do oni povas pli simple kaj nature priskribi la situacion uzante laŭsencajn koordinatojn. Tiam oni trovu la ĝustajn ĝeneraligitajn rapidecojn. Fine oni solvu la ekvacion de lagranĝo.
Plia avantaĝo de lagranĝa dinamiko estas la metodo de lagranĝaj multiplikantoj. Tiu metodo estas uzebla tiam kiam oni ne scias la naturo de iu forto dum limigita movado.
Fine estas la dinamiko de hamiltono. Same kiel lagranĝa dinamiko, hamiltona dinamiko venas de la Principo de Hamiltono. Ĉe hamiltona dinamiko oni uzas ĝeneraligitajn koordinatojn kaj ĝeneraligitajn movokvanton.
La ĝenerala formo de la hamiltona funkcio estas pli kompleksa ol la lagranĝa funkcio. Se la rilato inter naturaj koordinatoj kaj ĝeneraligitaj koordinatoj ne estas eksplicite funkcioj de tempo kaj se la potenciala energio ne estas funkcio de rapideco, la hamiltona funkcio estas simple la sumo de la kinetika energio kaj la potenciala energio.
La plej grava flanko de la hamiltona funkcio estas la simetrio de la hamiltonaj ekvacioj. Tiu simetrio estas la ligo inter klasika kaj kvantuma mekaniko.
