Gfyuki

En teorio de probabloj la atendata valoro (aŭ matematika ekspekto) de hazarda variablo estas la sumo de probabloj de ĉiuj eblaj rezultoj de la eksperimento, multiplikitaj per respektivaj valoroj de la variablo. Tial, ĝi prezentas la averaĝan kvanton, kiun oni "atendas" havi de la ekperimentado, se ĝi estas ripetita multfoje. Notu, ke la valoro mem estas tute ne atendata en la ĝenerala senco; ĝi povas esti malverŝajna aŭ tute neebla. Ludo aŭ situacio, en kiu la atendita valoro por la ludanto estas nulo (alivorte - nek gajno, nek malgajno) estas nomita "justa ludo".

Ekzemple, ĵetkubo povas doni egalprobable nombrojn 1, 2, 3, 4, 5, 6. Do la probablo de ĉiu el ĉi tiuj nombroj estas 1/6. Do la atendata valoro estas

(1/6)*1 + (1/6)*2 + (1/6)*3 + (1/6)*4 + (1/6)*5 + (1/6)*6 = 3.5 .

Matematika difino |

Ĝenerale, se X{displaystyle X,} estas hazarda variablo difinita sur probablospaco (Ω,P){displaystyle (Omega ,P),}, do la atendita valoro de X{displaystyle X,} (signita kiel E(X){displaystyle mathrm {E} (X),} aŭ iam ⟨X⟩{displaystyle langle Xrangle } aŭ E(X){displaystyle mathbb {E} (X)}) estas difinita kiel

E(X)=∫ΩXdP{displaystyle mathrm {E} (X)=int _{Omega }X,dP}

kie la lebega integralo estas uzata. Notu, ke ne ĉiu hazarda variablo havas atenditan valoron, ĉar la integralo povas ne ekzisti (ekzemple por la koŝia distribuo). Du variabloj kun la sama probablodistribuo havas la saman atenditan valoron, se ĝi estas difinita.

Se X{displaystyle X} estas diskreta hazarda variablo kun valoroj x1{displaystyle x_{1}}, x2{displaystyle x_{2}}, ... kaj respektivaj probabloj p1{displaystyle p_{1}}, p2{displaystyle p_{2}}, ... (kiuj sume estas 1) do E(X){displaystyle mathrm {E} (X)} povas esti komputita kiel la sumo de serio

E(X)=∑ipixi{displaystyle mathrm {E} (X)=sum _{i}p_{i}x_{i},}

kiel en la ekzemplo menciita pli supre.

Se la probablodistribuo de X{displaystyle X} havas probablodensan funkcion f(x){displaystyle f(x)}, tiam la atendita valoro povas esti komputita kiel

E(X)=∫−∞∞xf(x)dx.{displaystyle mathrm {E} (X)=int _{-infty }^{infty }xf(x),mathrm {d} x.}

Se X{displaystyle X} estas konstanta hazarda variablo X=b{displaystyle X=b} por iu fiksita reela nombro b{displaystyle b}, do la atendita valoro de X{displaystyle X} estas ankaŭ b{displaystyle b}.

La atendita valoro de ajna funkcio de x, g(x), kun respekto al la probablodensa funkcio f(x) estas donita per

E(g(X))=∫−∞∞g(x)f(x)dx.{displaystyle mathrm {E} (g(X))=int _{-infty }^{infty }g(x)f(x),mathrm {d} x.}

Propraĵoj |

Lineareco |

La atendata-valora operatoro (aŭ ekspekta operatoro) E{displaystyle mathrm {E} } estas lineara en la senco, ke

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y){displaystyle mathrm {E} (aX+bY)=amathrm {E} (X)+bmathrm {E} (Y),}

por ĉiuj du hazardaj variabloj X{displaystyle X} kaj Y{displaystyle Y} (kiuj devas esti difinitaj sur la sama probablospaco) kaj ĉiuj reelaj nombroj a{displaystyle a} kaj b{displaystyle b}.

Ripetita ekspekto |

Por ĉiuj du hazardaj variabloj X,Y{displaystyle X,Y} oni povas difini la kondiĉan ekspekton:

E[X|Y](y)=E[X|Y=y]=∑xx⋅P(X=x|Y=y).{displaystyle mathrm {E} [X|Y](y)=mathrm {E} [X|Y=y]=sum _{x}xcdot mathrm {P} (X=x|Y=y).}

Tiam la ekspekto de X{displaystyle X}

E(E[X|Y])=∑yE[X|Y=y]⋅P(Y=y)=∑y(∑xx⋅P(X=x|Y=y))⋅P(Y=y)=∑y∑xx⋅P(X=x|Y=y)⋅P(Y=y)=∑y∑xx⋅P(Y=y|X=x)⋅P(X=x)=∑xx⋅P(X=x)⋅(∑yP(Y=y|X=x))=∑xx⋅P(X=x)=E[X].{displaystyle {begin{matrix}mathrm {E} left(mathrm {E} [X|Y]right)&=&sum _{y}mathrm {E} [X|Y=y]cdot mathrm {P} (Y=y)\&=&sum _{y}left(sum _{x}xcdot mathrm {P} (X=x|Y=y)right)cdot mathrm {P} (Y=y)\&=&sum _{y}sum _{x}xcdot mathrm {P} (X=x|Y=y)cdot mathrm {P} (Y=y)\&=&sum _{y}sum _{x}xcdot mathrm {P} (Y=y|X=x)cdot mathrm {P} (X=x)\&=&sum _{x}xcdot mathrm {P} (X=x)cdot left(sum _{y}mathrm {P} (Y=y|X=x)right)\&=&sum _{x}xcdot mathrm {P} (X=x)\&=&mathrm {E} [X].end{matrix}}}

De ĉi tie jena ekvacio sekvas:

E[X]=E(E[X|Y]).{displaystyle mathrm {E} [X]=mathrm {E} left(mathrm {E} [X|Y]right).}

La dekstra flanko de ĉi tiu ekvacio nomiĝas la ripetita ekspekto. Ĉi tiu propozicio estas traktita en leĝo de tuteca ekspekto.

Neegalaĵo |

Se hazarda variablo X estas ĉiam malpli ol aŭ egala al alia hazarda variablo Y, do la ekspekto de X estas malpli ol aŭ egala al tiu de Y:

Se X≤Y{displaystyle Xleq Y}, tiam E[X]≤E[Y]{displaystyle mathrm {E} [X]leq mathrm {E} [Y]}.

Aparte, ĉar X≤|X|{displaystyle Xleq |X|} kaj −X≤|X|{displaystyle -Xleq |X|}, la absoluta valoro de ekspekto de hazarda variablo estas malpli aŭ egala al la ekspekto de ĝia absoluta valoro:

|E[X]|≤E[|X|]{displaystyle |mathrm {E} [X]|leq mathrm {E} [|X|]}

Prezento |

Jena formulo veras por ĉiu nenegativa reelvalora hazarda variablo X{displaystyle X} tia ke E[X]<∞{displaystyle mathrm {E} [X]<infty }) kaj pozitiva reela nombro α{displaystyle alpha }:

E[Xα]=α∫0∞tα−1P(X>t)dt.{displaystyle mathrm {E} [X^{alpha }]=alpha int _{0}^{infty }t^{alpha -1}mathrm {P} (X>t)mathrm {d} t.}

Nemultiplikeco |

Ĝenerale, la atendita-valora operatoro estas ne multiplika, kio signifas, ke E(XY){displaystyle mathrm {E} (XY)} ne estas bezone egala al E(X)E(Y){displaystyle mathrm {E} (X)mathrm {E} (Y)}, escepte se X{displaystyle X} kaj Y{displaystyle Y} estas sendependaj aŭ nekorelaciigitaj.
Ĉi tiu manko de multiplikeco necesigas studojn de kunvarianco kaj korelacio.

Funkcia ne-invarianteco |

Ĝenerale, la ekspekta operatoro kaj funkcioj de hazarda variablo ne estas komutecaj; tio estas ke

E(g(X))=∫Ωg(X)dP≠g(E⁡X),{displaystyle mathrm {E} (g(X))=int _{Omega }g(X),mathrm {d} Pneq g(operatorname {E} X),}

Vidu ankaŭ |

• Reprodukta valoro (populacia genetiko)


• Kondiĉa ekspekto


• An neegalaĵo sur loko kaj skalaj parametroj


• Atendata nombro


• Atendata valoro estas ankaŭ grava koncepto en ekonomiko.