Gfyuki

Sistemo de linearaj ekvacioj estas sistemo de ekvacioj, en kiu estas laŭvola nombro de linearaj ekvacioj kaj samtempe ne estas nelinearaj ekvacioj.

Se estas m ekvacioj, en kiujn estas n variantoj, tiam oni povas prezenti en formo:

{a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+…+a3nxn=b3⋮⋮⋮⋱⋮⋮am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm{displaystyle {begin{cases}{begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&dots &+&a_{1n}x_{n}&=b_{1}\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&dots &+&a_{2n}x_{n}&=b_{2}\a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&dots &+&a_{3n}x_{n}&=b_{3}\vdots &&vdots &&vdots &&ddots &&vdots &vdots \a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&a_{m3}x_{3}&+&dots &+&a_{mn}x_{n}&=b_{m}end{matrix}}end{cases}}}

Skalaroj aij{displaystyle a_{ij}} nomas koeficienton de sistemo ,
skalaroj bi{displaystyle b_{i}} nomas liberajn elementojn.
Solvo de sistemo de ekvacioj nomas laŭvolan n-elementojn (r1,r2,…,rn){displaystyle (r_{1},r_{2},dots ,r_{n})}
de korpoK{displaystyle K}, kiuj substituanta xi{displaystyle x_{i}} donas verajn ekvaciojn.

Ĉefa matrico de sistemo |

Ĉefa matrico estas matrico, kiujn elementojn estas koeficiento de sistemo

A=[a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2na31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋱⋮am1am2am3⋯amn]{displaystyle A={begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&cdots &a_{1n}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&cdots &a_{2n}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&cdots &a_{3n}\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}.

Dilata matrico de sistemo |

Dilata matrico estas ĉefa matrico, kiu estas dilatata pri vertikala vektoro (b1,b2,…,bm){displaystyle (b_{1},b_{2},dots ,b_{m})}:

U=[a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2na31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋱⋮am1am2am3⋯amn|b1b2b3⋮bm]=[A|B]{displaystyle U=left[{begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&cdots &a_{1n}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&cdots &a_{2n}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&cdots &a_{3n}\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&cdots &a_{mn}\end{matrix}}right|left.{begin{matrix}b_{1}\b_{2}\b_{3}\vdots \b_{m}end{matrix}}right]=[A|B]}

Priskribo de matricoj de sistemo de linearaj ekvacioj |

Ĉar koeficientoj de sistemoj de ekvacioj facile skribas per matricoj, tial oni uzas atributojn
de matrica multipliko oni povas skribi sistemon de ekvacioj kiel:

AX=B{displaystyle AX=B}

kie:

A{displaystyle A} - ĉefa matrico,

X{displaystyle X} - (vertikala) vektoro de variantoj xi{displaystyle x_{i}},

B{displaystyle B} -(vertikala) vektoro de liberaj elementoj bi{displaystyle b_{i}}.

do, oni povus solvi sistemo de linearaj ekvacioj, kiel:

X=BA{displaystyle X={B over A}}

se oni ekzistus divido de matricoj. Tamen oni scias ke divido de du elementoj de grupo estas multipliko de unue elemento kaj inverso de dua elemento, oni povas skribi:

X=A−1B{displaystyle X=A^{-1}B}

(Rimarku!, ke X=BA−1{displaystyle X=BA^{-1}} ne estas korekta , ĉar multpliko de matricoj
ne estas komuteca. )

Tipoj de sistemoj de linearaj ekvacioj |

Sistemo de Kramero |

Sistemo de Kramero estas sistemo n de linearaj ekvacioj (kun n variantoj), kiuj havas sekvan atributon:

detA≠0{displaystyle det Anot =0}

Sistemo de Kramero havas nur strikte unu solvon, kiu estas difinata per formuloj de Kramero.

Homogena sistemo |

Sistemo de ekvacioj estas homogena se ĉiuj liberaj elementoj de sistemo estas nuloj. Ekzemplo de homogena sistemo:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=0{displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0,}

a21x1+a22x2+...+a2nxn=0{displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0,}

⋮{displaystyle vdots ,}

an1x1+an2x2+...+annxn=0{displaystyle a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0,}

Atributoj de homogena sistemo:

• havas ĉiam nulan solvon.


• havas ne nulan solvon nur se vico de ĉefa matrico estas malpli ol n
  

Kvadrata sistemo |

Se n=m{displaystyle n=m} (nombro de variantoj egalas nombro de ekvacioj), tiam sistemo nomas kvadratan sistemon.

Se determinanto de ĉefa matrico ne estas nulo, tiam oni povas uzi formuloj de Kramero por solvi.

Se determinanto de ĉefa matrico estas nulo, tiam sistemo ne havas solvon aŭ havas infinite multe solvojn.

Signifas per Ai{displaystyle A_{i}} matricojn, kiel sube:

Ai=[a11a12…a1 i−1b1a1 i+1…a1na21a22…a2 i−1b2a2 i+1…a2n⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮an1an2…an i−1bnan i+1…ann]{displaystyle A_{i}={begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&dots &a_{1 i-1}&b_{1}&a_{1 i+1}&dots &a_{1n}\a_{21}&a_{22}&dots &a_{2 i-1}&b_{2}&a_{2 i+1}&dots &a_{2n}\vdots &vdots &ddots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n1}&a_{n2}&dots &a_{n i-1}&b_{n}&a_{n i+1}&dots &a_{nn}end{bmatrix}}}

• Se determinanto de ĉiuj matricoj Ai{displaystyle A_{i}} estas nulo (kaj detA=0{displaystyle det A=0}), tiam sistemo havas infinite multe solvojn.


• Se almenaŭ unu el matricojAi{displaystyle A_{i}} havas determinanton nenula, tiam sistemo ne havas solvojn.

Ortangula sistemo |

Laŭvola sistemo:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1{displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1},}

a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2{displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2},}

⋮{displaystyle vdots ,}

am1x1+am2x2+...+amnxn=bm{displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m},}

nomas ortagulan sistemon, kiam m≠n{displaystyle mnot =n}.

Ekzemploj |

x+3y=2−2x+−6y=−4{displaystyle x+3y=2 atop -2x+-6y=-4}
{a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+…+a3nxn=b3⋮⋮⋮⋱⋮⋮am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm{displaystyle {begin{cases}{begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&dots &+&a_{1n}x_{n}&=b_{1}\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&dots &+&a_{2n}x_{n}&=b_{2}\a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&dots &+&a_{3n}x_{n}&=b_{3}\vdots &&vdots &&vdots &&ddots &&vdots &vdots \a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&a_{m3}x_{3}&+&dots &+&a_{mn}x_{n}&=b_{m}end{matrix}}end{cases}}}

Vidu ankaŭ |

• Metodo de Gaŭso


• Teoremo de Kronecker-Capellego