Gfyuki

En lineara algebro, determinanto estas funkcio kiu asociigas skalaron det(A) al ĉiu n×n kvadrata matrico A. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la skala faktoro por volumeno se A estas konsiderita kiel lineara transformo.

Por ĉiu pozitiva entjero n, estas unika determinanta funkcio por la n×n matricoj super ĉiu komuta ringo R. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam R estas la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj.

Determinanto de A estas ankaŭ iam skribita kiel |A|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de AA∗{displaystyle {AA}^{*}}.

Ĝenerala difino kaj kalkulado |

Estu A=(Ai,j){displaystyle A=(A_{i,j}),} kvadrata matrico.

Se A{displaystyle A} estas 1-per-1 matrico, tiam det(A)=A1,1{displaystyle det(A)=A_{1,1}} .

Se A{displaystyle A} estas 2-per-2 matrico, tiam det(A)=A1,1A2,2−A2,1A1,2{displaystyle det(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}} .

Por 3-per-3 matrico A, la formulo estas pli komplika:

det(A)=A1,1A2,2A3,3+A1,3A2,1A3,2+A1,2A2,3A3,1−A1,3A2,2A3,1−A1,1A2,3A3,2−A1,2A2,1A3,3.{displaystyle {begin{matrix}det(A)&=&A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3}+A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2}+A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\&&-A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1}-A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2}-A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}.end{matrix}},}

Por ĝenerala n-per-n matrico, la determinanto estis difinita per formulo de Leibniz:

det(A)=∑σ∈Snsgn⁡(σ)∏i=1nAi,σ(i){displaystyle det(A)=sum _{sigma in S_{n}}operatorname {sgn} (sigma )prod _{i=1}^{n}A_{i,sigma (i)}}

La sumo estas komputita super ĉiuj permutoj σ{displaystyle sigma } de nombroj {1,2,...,n} kaj sgn⁡(σ){displaystyle operatorname {sgn}(sigma )} estas signumo de la permuto σ{displaystyle sigma }: =+1 se σ{displaystyle sigma } estas para permuto kaj =−1 se ĝi estas nepara.

Ĉi tiu formulo enhavas n! {displaystyle n! } (faktorialon) da termoj, kaj pro tio uzi ĝin por kalkuli determinantojn pri granda n {displaystyle n } maloportunas.

Determinanto povas esti komputita kun la gaŭsaj algoritmaj uzante jenajn regulojn:

• Se A{displaystyle A} estas triangula matrico, kio estas Ai,j=0{displaystyle A_{i,j}=0,} ĉiam i>j{displaystyle i>j}, tiam det(A)=A1,1A2,2⋯An,n.{displaystyle det(A)=A_{1,1}A_{2,2}cdots A_{n,n}.,}
  


• Se B{displaystyle B} rezultas de A{displaystyle A} per interŝanĝo de du linioj aŭ de du kolumnoj, tiam det(B)=−det(A).{displaystyle det(B)=-det(A).,}
  


• Se B{displaystyle B} rezultas de A{displaystyle A} per multipliko de unu linio aŭ de unu kolumno kun la nombro c{displaystyle c}, tiam det(B)=cdet(A).{displaystyle det(B)=c,det(A).,}
  


• Se B{displaystyle B} rezultas de A{displaystyle A} per adicio al linio de unu alia linio multiplikita per iu koeficiento, aŭ adicio al kolumno de unu alia kolumno multiplikita per iu koeficiento, tiam det(B)=det(A).{displaystyle det(B)=det(A).,}
  

Uzante la lastajn tri regulojn eblas konverti ĉiun matricon en triangulan matricon, tiam eblas uzi la unua regulo por komputi ĝian determinanton.

Propraĵoj |

La determinanto estas multiplika mapo en la senco ke

det(AB)=det(A)det(B){displaystyle det(AB)=det(A)det(B),} por ĉiuj n-per-n matricoj A{displaystyle A} kaj B{displaystyle B}.

Ĉi tiu estas ĝeneraligita per la Koŝio-Binet-a formulo al produktoj de ne-kvadrataj matricoj.

Estas facile vidi ke, se In {displaystyle I_{n} } estas la n {displaystyle n }-per-n {displaystyle n } identa matrico, det(rIn)=rn {displaystyle det(rI_{n})=r^{n} ,} kaj tial:

det(rA)=det(rIn⋅A)=rndet(A){displaystyle det(rA)=det(rI_{n}cdot A)=r^{n}det(A),}, por ĉiuj n{displaystyle n}-per-n{displaystyle n} matricoj A{displaystyle A} kaj ĉiuj skalaroj r {displaystyle r }.

Matrico super komuta ringo R estas inversigebla, se kaj nur se ĝia determinanto estas unuo en R.

Aparte, se A estas matrico super kampo K, kiel la realaj nombroj aŭ kompleksaj nombroj, tiam A estas inversigebla se kaj nur se det_(A) estas ne-nulo. En ĉi tiu okazo, ni havas

det(A−1)=det(A)−1 .{displaystyle det(A^{-1})=det(A)^{-1} .,}

Esprimita malsame: la vektoroj v₁,...,v_n en Rⁿ formas bazon, se kaj nur se det(v₁,...,v_n) estas ne-nulo.

Matrico kaj ĝia transpono havas la saman determinanton:

det(A⊤)=det(A).{displaystyle det(A^{top })=det(A).,}

La determinanto de
kompleksa matrico kaj de ĝia konjugita transpono
estas konjugita:

det(A∗)=det(A)∗.{displaystyle det(A^{*})=det(A)^{*}.,}

Notu ke konjugita transpono de matrico estas identa al la transpono pri reela matrico.

Se A{displaystyle A} kaj B{displaystyle B} estas similaj, tio estas, se tie ekzistas inversigebla matrico X{displaystyle X} , tia ke A{displaystyle A} = X−1BX{displaystyle X^{-1}BX} , tiam pro la multiplika propraĵo,

det(A)=det(B).{displaystyle det(A)=det(B),.}

Vidu ankaŭ |

• Rango de matrico


• Ajgeno