Unuoglobo
En matematiko, unuosfero estas la aro de punktoj je distanco 1 de fiksita centra punkto; ĝeneraligita koncepto de distanco povas esti uzata. unuoglobo estas la regiono ene de unuosfero. Kutime specifa punkto estas distingita kiel la fonto de la spaco por studi kaj unuosfero aŭ unuoglobo estas centrita je tiu punkto. Pro tio oni parolas pri "la" unuoglobo aŭ "la" unuosfero.
Unuosfero estas simple sfero de radiuso unu. La graveco de la unuosfero estas je tio ke ĉiu sfero povas esti konvertita en la unuosferon per kombinaĵo de translacio kaj homotetio. Tiamaniere propraĵoj de sferoj ĝenerale povas esti uzataj por studi unuosferon.
Enhavo
1 Unuogloboj en eŭklida spaco
1.1 Formuloj de areo kaj volumeno
2 Unuogloboj en normigitaj vektoraj spacoj
2.1 Komentoj
3 Ĝeneraligo al metrikaj spacoj
4 Vidu ankaŭ
Unuogloboj en eŭklida spaco |
En eŭklida spaco de n dimensioj, la unuosfero estas aro de ĉiuj punktoj x1,⋯,xn{displaystyle x_{1},cdots ,x_{n}} kiu kontentigas ekvacion
- x12+x22+⋯+xn2=1{displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}=1}
kaj la fermita unuoglobo estas aro de ĉiuj punktoj kontentigantaj neegalaĵon
- x12+x22+⋯+xn2≤1.{displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}leq 1.}
Formuloj de areo kaj volumeno |
Volumeno de unuoglobo en n-dimensia eŭklida spaco kaj surfaca areo de unuosfero aperas en multaj gravaj formuloj de analitiko. La surfaca areo de unuosfero en n dimensioj, ofte skribita kiel ωn{displaystyle omega _{n}}, povas esti esprimita per uzo de la Γ funkcio. Ĝi estas
ωn=2πn/2Γ(n/2){displaystyle omega _{n}={frac {2pi ^{n/2}}{Gamma (n/2)}}}.
La volumeno de la unuoglobo estas ωn/n{displaystyle omega _{n}/n}.
Unuogloboj en normigitaj vektoraj spacoj |
La malfermita unuoglobo en normigita vektora spaco V{displaystyle V}, kun la normo ‖⋅‖{displaystyle |cdot |}, estas
{x∈V:‖x‖<1}{displaystyle {xin V:|x|<1}}.
Ĝi estas la eno de la fermita unuoglobo de (V,||·||),
{x∈V:‖x‖≤1}{displaystyle {xin V:|x|leq 1}}.
La lasta estas unio de la antaŭa kaj ilia komuna rando, la unuosfero de (V,||·||),
{x∈V:‖x‖=1}{displaystyle {xin V:|x|=1}}.
Komentoj |
La 'formo' de la unuoglobo estas tute dependa de la elektita normo; ĝi povas havi 'angulojn', kaj ekzemple povas aspekti kiel [−1,1]n en okazo de normo l∞ en Rn. La ronda globo estas farita de la kutima hilberta spaca normo, kiu estas en la finia dimensia okazo la samo kiel eŭklida distanco; ĝia rando estas kio estas kutime intencita per la unuosfero.
Ĝeneraligo al metrikaj spacoj |
Ĉiuj tri el la pli supraj difinoj povas esti simple ĝeneraligitaj al metrika spaco, kun respekto al la elektita fonto. Tamen, topologiaj konsideroj (eno, fermaĵo, rando) povas ne aplikiĝi sammaniere (ekzemple, en mezuregaj spacoj, ĉiuj el la triopo estas samtempe malfermitaj kaj fermitaj aroj), kaj la unuosfero povas eĉ esti malplena en iuj metrikaj spacoj.
Vidu ankaŭ |
- Unuocirklo
- Unuokvadrato
- Unuodisko
- Sfero
- Globo (matematiko)
- Normo (matematiko)
- Tabelo de matematikaj simboloj
